统计基础 fisher.test

Fisher精确检验（Fisher’s Exact Test）

适用于分析2×2列联表（如治疗 vs. 不治疗，生存 vs. 死亡），特别适用于小样本数据（如某些单元格期望计数 <5）。

	生存	死亡	总计
治疗组	8	2	10
对照组	3	7	10
总计	11	9	20

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2. Fisher检验的原假设（H₀）

H₀：治疗与生存率无关（即治疗对生存率无影响）。
换句话说，治疗组和对照组的生存/死亡比例来自同一个总体分布。

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3. 抽球原理类比

• 想象一个袋子中有 20个球（代表所有受试者）：
  • 11个白球（生存）
  • 9个黑球（死亡）
• 随机抽取10个球（治疗组），剩下的10个是对照组。
• 问题：如果治疗无效，治疗组中抽到8个白球（生存）的概率是多少？

Fisher检验的核心

计算在H₀成立时，观察到当前表格（或更极端情况）的超几何概率：
$P=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{8}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{10}\right)}+\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{9}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{10}\right)}+\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{10}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{10}\right)}$
（即治疗组生存数≥8的概率）

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4. R语言实现

# 构造列联表
data <- matrix(c(8, 2, 3, 7), nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(data) <- c("治疗组", "对照组")
colnames(data) <- c("生存", "死亡")
 
# Fisher精确检验
fisher.test(data)

输出结果

p-value = 0.0345
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1

• p值=0.0345（<0.05），拒绝H₀，说明治疗与生存率显著相关。

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• 显著性：p值<0.05，表明治疗组和对照组的生存率差异非随机产生。
• 方向性：治疗组生存率（8/10=80%）高于对照组（3/10=30%）。
• 优势比（Odds Ratio）：
  $\text{OR}=\frac{8\times 7}{2\times 3}=9.33$
  治疗组的死亡风险是对照组的1/9.33≈0.11倍（保护效应）。

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• H₀：治疗与生存无关（两组生存率相同）。
• 检验原理：通过超几何分布计算极端情况的概率。
• 适用场景：小样本、2×2列联表，尤其当卡方检验不满足条件时。
• 结论：本例中治疗显著提高生存率（p=0.0345）。

列联表行/列转置是否影响Fisher检验结果？

1. 转置后的列联表

原始表（生存/死亡在列）：

	生存	死亡	总计
治疗组	8	2	10
对照组	3	7	10
总计	11	9	20

转置后（生存/死亡在行）：

	治疗组	对照组	总计
生存	8	3	11
死亡	2	7	9
总计	10	10	20

2. Fisher检验的数学本质

• 检验的假设（H₀）不变：

  • 原假设始终是行变量与列变量独立（如治疗与生存无关）。
  • 转置仅改变表格的展示方式，不改变变量间的关系。

• 统计量计算不受影响：
  Fisher检验基于超几何分布，其概率公式为：
  $P=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{a}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c+d}{c}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{a+c}\right)}$
  其中 $a,b,c,d$ 是四格表的单元格值，$n$ 是总样本量。
  转置后，单元格的数学关系保持不变（如原始表的 $a=8$ 仍是转置后的 $a=8$）。

3. R语言验证

# 原始表（生存/死亡在列）
data_original <- matrix(c(8, 2, 3, 7), nrow = 2, byrow = TRUE)
fisher.test(data_original)$p.value  # 输出: 0.0345
 
# 转置后（生存/死亡在行）
data_transposed <- t(data_original)
fisher.test(data_transposed)$p.value  # 输出: 0.0345

结果一致，p值均为0.0345。

4. 解释的侧重点差异

虽然统计结论相同，但转置可能影响结果表述的侧重点：

• 原始表：
  • 解释为“治疗组的生存率是否显著高于对照组”。
• 转置表：
  • 解释为“生存组的治疗比例是否显著高于死亡组”。

Q1: alternative = "less" 是否计算 4/3/2…个球的概率？

• 是。
  • 如果当前抽到 5 个白球，less 计算的是抽到 ≤5 个白球的概率（即 0,1,2,3,4,5）。
  • 但若当前观察值已在左侧（如 2 个白球），less 会计算更小值（0,1,2）。

Q2: alternative = "greater" 是否计算 5/6/7…个球的概率？

• 是。
  • 如果当前抽到 5 个白球，greater 计算的是抽到 ≥5 个白球的概率（即 5,6,7,…）。

Q3: two.sided（双尾）的计算逻辑？

• 不是简单的左尾+右尾，而是：
  • 计算所有与当前表格或更极端情况的概率（按优势比定义极端性）。
  • 例如：若当前表格的 OR=4，则双尾 p值包括所有 OR≥4 或 OR≤1/4 的表格概率之和。

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4. R代码验证

data <- matrix(c(8, 2, 3, 7), nrow = 2)
 
# 右尾检验（治疗组生存率 > 对照组）
fisher.test(data, alternative = "greater")$p.value  # 输出: 0.017
 
# 左尾检验（治疗组生存率 < 对照组）
fisher.test(data, alternative = "less")$p.value    # 输出: 0.99
 
# 双尾检验（默认）
fisher.test(data, alternative = "two.sided")$p.value  # 输出: 0.0345

核心要点

1. 单尾检验需预先指定方向，不可根据数据结果事后选择。
2. 双尾检验是默认选择，除非有强理论支持单侧假设。
3. Fisher检验的 p值基于超几何分布的极端概率累加。

• 总球数 $N=20$
• 成功球（标记为“白球”）数 $K=12$
• 失败球（“黑球”）数 $N-K=8$
• 抽取数 $n=10$

假设你观察到抽到 $x=5$ 个成功球。

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2. 超几何概率分布（抽出成功球数的概率）

公式：

$$P(X=x)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{x}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-x}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$$

我们先计算所有可能的 $x=0,1,\dots ,10$ 的概率：

x（成功数）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(X=x)	0.0002	0.0021	0.0113	0.0391	0.0916	0.1501	0.1881	0.1686	0.1048	0.0363	0.0080

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3. 各种 alternative 计算的 p 值区域

假设观察到 $x=5$：

• “less”：计算 $P(X\le 5)={\sum }_{i=0}^{5}P(X=i)\approx 0.2944$
• “greater”：计算 $P(X\ge 5)={\sum }_{i=5}^{10}P(X=i)\approx 0.6558$
• “two.sided”：计算所有概率 ≤ $P(X=5)$ 的概率和

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4. 哪些值“更极端”？

• $P(X=5)=0.1501$
• 找所有 $x$ 使得 $P(X=x)\le 0.1501$，包括 $x=0,1,2,3,4,5,8,9,10$（因为 $P(6)=0.1881$, $P(7)=0.1686$ 都大于 0.1501）

所以，

$$p_{\text{two.sided}}=\sum _{x\in \{0,1,2,3,4,5,8,9,10\}}P(X=x)\approx 0.0002+0.0021+0.0113+0.0391+0.0916+0.1501+0.1048+0.0363+0.0080=0.4435$$

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# 原始列联表（治疗为行，生存和死亡为列）
#       生存  死亡
# 治疗    8     2
# 未治疗  4     6
 
table_orig <- matrix(c(8, 2, 4, 6), nrow=2, byrow=F)
rownames(table_orig) <- c("治疗", "未治疗")
colnames(table_orig) <- c("生存", "死亡")
print("原始列联表：")
print(table_orig)
 
# Fisher检验 alternative = "greater"  # 检验治疗组“生存”数量更多
res_orig_greater <- fisher.test(table_orig, alternative = "greater")
print("原始表 alternative = 'greater' (治疗组生存数更多):")
print(res_orig_greater$p.value)
 
# Fisher检验 alternative = "less"  # 检验治疗组“生存”数量更少
res_orig_less <- fisher.test(table_orig, alternative = "less")
print("原始表 alternative = 'less' (治疗组生存数更少):")
print(res_orig_less$p.value)
 
 
# 交换“生存”和“死亡”两列，列顺序变为死亡-生存
table_swap <- table_orig[, c("死亡", "生存")]
print("交换列后列联表（死亡和生存列顺序交换）：")
print(table_swap)
 
# 这时如果仍用 alternative = "greater"，其实检验的是治疗组“死亡”数量是否更多
res_swap_greater <- fisher.test(table_swap, alternative = "greater")
print("交换列后 alternative = 'greater' (治疗组死亡数更多):")
print(res_swap_greater$p.value)
 
# alternative = "less" 检验治疗组“死亡”数量是否更少
res_swap_less <- fisher.test(table_swap, alternative = "less")
print("交换列后 alternative = 'less' (治疗组死亡数更少):")
print(res_swap_less$p.value)