矩阵乘法

1. 矩阵 A 的第 i 行 与 矩阵 B 的第 j 列 做“点积”：把两个向量对应元素相乘后求和
2. 另外一种看法，矩阵A的每列看作基向量，然后矩阵B的每列看作是对矩阵A各列的基向量的扩展最后合并得到点基

矩阵A对x只产生 伸缩的变化，这个时候这个向量为特征向量，矩阵A等价于特征值

这张图把矩阵B的列看做成了**对矩阵A中的i j 向量的扩张**,生成新的向量

是的！你说的这种是另一种非常有价值的观点：
将矩阵乘法看作基向量的线性组合扩展，这在线性代数与几何解释中非常常见，尤其有助于理解矩阵乘法的结构和意义。
是的，你理解得基本正确，我们来稍微更清晰地表述一下，并配上例子：

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“矩阵 B 的列的每个元素 × 矩阵 A 的列的对应元素然后相加”

把矩阵 A 的第 i 行 和 矩阵 B 的第 j 列对应位置相乘后再求和。

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🔍 例子演示：

设：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right]$$

• A 是 $2\times 3$
• B 是 $3\times 2$

则乘积 $C=A\times B$ 是 $2\times 2$，计算如下：

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计算 $C_{11}$：

第一行（A） × 第一列（B）

$$C_{11}=1\ast 7+2\ast 9+3\ast 11=7+18+33=58$$

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计算 $C_{12}$：

第一行（A） × 第二列（B）

$$C_{12}=1\ast 8+2\ast 10+3\ast 12=8+20+36=64$$

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计算 $C_{21}$：

第二行（A） × 第一列（B）

$$C_{21}=4\ast 7+5\ast 9+6\ast 11=28+45+66=139$$

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计算 $C_{22}$：

第二行（A） × 第二列（B）

$$C_{22}=4\ast 8+5\ast 10+6\ast 12=32+50+72=154$$

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🔚 所以乘积矩阵 C 为：

$$C=AB=\left[\begin{array}{cc}58& 64\\ 139& 154\end{array}\right]$$

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✅ 总结你要的重点表达：

矩阵 A 的第 i 行 与 矩阵 B 的第 j 列 做“点积”：
把两个向量对应元素相乘后求和，这就是 $C_{ij}$。

这与你说的**“列的元素乘起来再加总”** 是一致的，只是我们一般说：行向量 · 列向量 = 一个标量（点积）。

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需要我用图形、代码（如 R/Python）或动画帮你可视化矩阵乘法过程吗？

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✅ 你描述的思路整理如下：

设：

• $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$：每一列 $A_{\cdot ,k}$ 可视为 一个长度为 m 的基向量；
• $B\in {\mathbb{R}}^{n\times p}$：每一列 $B_{\cdot ,j}$ 是对 A 的列的 线性组合系数；
• $C=AB\in {\mathbb{R}}^{m\times p}$

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🔍 几何解释：

矩阵 $B$ 的第 $j$ 列告诉你如何把 $A$ 的各列向量按比例加起来（线性组合），
结果就是乘积矩阵 $C$ 的第 $j$ 列。

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✅ 更具体地说：

$$C_{\cdot ,j}=A\cdot B_{\cdot ,j}=\sum _{k=1}^n{B}_{k,j}\cdot A_{\cdot ,k}$$

• $A_{\cdot ,k}$ 是 A 的第 $k$ 列向量（也就是你说的“基向量”）；
• $B_{k,j}$ 是该基向量的权重；
• 把所有 $A_{\cdot ,k}$ 按照 $B_{\cdot ,j}$ 给出的权重线性组合，得到 $C$ 的第 $j$ 列。

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🧠 举个小例子说明：

设：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$$

• A 是 $2\times 2$：是单位矩阵，A 的每列就是标准基向量 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$

• B 的第 1 列是 $[3,5]$，意思是：

  • 用 3 乘 $e_1$，5 乘 $e_2$，得 $C_{\cdot ,1}=3e_1+5e_2=[3,5{]}^T$

结果：

$$C=AB=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$$

这意味着：每一列就是对 A 的列向量进行线性组合得到的结果，这与你说的“点基”或“投影到基上再展开”是本质一致的理解。

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📌 总结两种角度对矩阵乘法的解释：

角度	描述
代数角度（常规）	A 的每行与 B 的每列做点积，得到一个数
几何/结构角度	B 的每列是 A 的列向量的线性组合权重，C 的每列是组合后的向量

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如果你愿意探索更深一点，比如「矩阵作为线性变换」、「特征向量方向如何被保留」、「通过矩阵看空间变换」这些，都可以延伸这套理解。是否需要我再图示或者用 R/Python 展示一下？

相关参考：
矩阵乘法
线代
3brown1blue

增广矩阵求解