Kruskal-Wallis 检验的

1️⃣ 适用场景

• 单因素（单自变量）比较 两个以上独立样本
• 数据不满足 正态性 或 方差齐性
• 可以看作是非参数版本的 单因素方差分析（ANOVA）

Kruskal-Wallis 检验是基于 秩（rank） 的比较，而不是原始数值。步骤如下：

1. 合并所有观测值，对整体数据进行排序，得到秩（rank）
2. 计算各组的秩和 $R_i$
3. 根据各组样本量 $n_i$ 和总样本量 $N$，计算 Kruskal-Wallis 统计量 $H$：

$$H=\frac{12}{N(N+1)}\sum _{i=1}^k\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)$$

• $k$：组数
• $n_i$：第 i 组样本量
• $R_i$：第 i 组秩和

1. 当样本量较大时，H 服从近似 ${\chi }^2$ 分布，自由度 = $k-1$

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3️⃣ 原理解释

• 通过秩消除了 分布形态 的影响
• 如果各组来自相同分布 → H 值较小（各组秩和差异不显著）
• 如果至少有一组与其他组不同 → H 值较大，显著性检验拒绝原假设

原假设 $H_0$：所有组的分布相同（中位数相等）
备择假设 $H_1$：至少有一组分布不同

kruskal.test(Sepal.Length ~ Species, data = iris)

• Kruskal-Wallis 不要求正态
• 基于秩进行比较
• 可以看作是 非参数 ANOVA
• 如果显著，需要进一步做 两两比较（如 Dunn 检验 + 多重校正）

假设数据为非正态分布或采取偏态分布，当数据遵循正态分布时，应使用单因素方差分析；

• 所关注的变量应该有两个或多个独立组。该检验最常用于分析三个或更多的组：对于分析两个组，应使用Mann-Whitney U检验来代替；-
• 假设数据在各组之间有类似的分布；
• 数据应该是随机选择的独立样本，即各组之间应该没有关系；
• 每组样本应至少有5个观测值，以达到足够的样本量。
• 这些假设与Mann-Whitney U检验相似，因为Kruskal-Wallis检验本质上是该检验的延伸，有两个以上的独立样本。而且，与Mann-Whitney U检验相似，Kruskal-Wallis检验是基于对数据进行排序并计算出一个检验统计量。

这个问题非常关键 👍。我们来拆开讲。

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1️⃣ options(contrasts = c("contr.helmert", "contr.poly")) 是做什么的？

在 R 里，因子型变量在进入模型时需要转换成虚拟变量（dummy variables），这就涉及到 对比编码（contrasts）。

options(contrasts = c("X", "Y")) 规定了：

• 第 1 个参数 → 普通因子（unordered factor）的默认对比方式
• 第 2 个参数 → 有序因子（ordered factor）的默认对比方式

contr.helmert 和 contr.poly 都是正交对比（orthogonal contrasts），常见于实验设计/方差分析里。

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2️⃣ 如果你 不设置这个选项 会发生什么？

R 默认是：

options("contrasts")
$contrasts
[1] "contr.treatment" "contr.poly"

也就是说：

• 无序因子 → 默认 contr.treatment （处理组 vs 基准组，常见于回归分析）
• 有序因子 → 默认 contr.poly （多项式对比）

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3️⃣ 对 ANOVA 有什么影响？

• F 检验（整体显著性）不会受影响

  • 无论用什么 contrasts，ANOVA 表中的组间差异检验结果（F 值、p 值）是一样的
  • 因为 ANOVA 关注的是整体均值差异，而不是具体对比方式

• 回归系数的解释不同

  • 如果用默认的 contr.treatment，系数表示“某组 vs 基准组”的均值差异
  • 如果用 contr.helmert，系数表示“某组 vs 之前组均值”的差异
  • 如果用 contr.sum，系数表示“每组 vs 整体均值”的差异

• 模型稳定性

  • 在实验设计（尤其是平衡设计）中，正交对比（contr.helmert / contr.poly）更合理，因为它们不相关，方差分解更清晰
  • 默认的 contr.treatment 并不是正交的，结果仍然正确，但在解释和某些辅助分析（如 Type I / II / III 方差分解）时可能不如正交对比直观

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4️⃣ 举个例子

data(iris)
 
# 默认 contrasts
fit1 <- aov(Sepal.Length ~ Species, data=iris)
summary(fit1)
 
# 修改 contrasts
op <- options(contrasts = c("contr.helmert", "contr.poly"))
fit2 <- aov(Sepal.Length ~ Species, data=iris)
summary(fit2)
 
# 恢复默认
options(op)

对比结果：

• ANOVA 表中的 F 值和 p 值一样
• fit1 和 fit2 的系数不一样，解释方式不同

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✅ 总结

• 不设置 → 默认 contr.treatment，ANOVA 结果完全没问题，整体检验不受影响
• 设置 contr.helmert / contr.poly → 更适合实验设计，保证对比正交，解释性更清晰
• 区别主要体现在系数解释，而不是 F 检验结果

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要不要我帮你画一个小表，把 常见 contrasts 的含义和适用场景（treatment / sum / helmert / poly）总结出来？