统计基础 似然比检验

似然比检验是一种统计检验方法，用于比较两个统计模型的拟合优度。

核心概念:

• 似然比统计量 λ = (受限模型的最大似然值)/(完全模型的最大似然值)
• 0 ≤ λ ≤ 1,值越接近1表示受限模型越好
• -2ln(λ) 渐近服从自由度为r的卡方分布(r为两模型参数个数之差)

也是不断抽样 得到 labmda

检验步骤:

1. 建立原假设H0和备择假设H1
2. 计算似然比统计量λ
3. 计算检验统计量-2ln(λ)
4. 根据显著性水平α和临界值做出判断

似然比检验判断数据 更可能来自于两组分布的哪一种
参数估计：参数的值是多少

• 无偏：样本确定的情况下，对参数多次估计均值一样
• 一致性：随着n的增大，参数与真实值趋于一致
  区间估计 $\theta 1$ <$\theta$ <${\theta }_2$ 有一定的概率不在这个区间

P{zstat<α}=1-α
似然是一个概率，表达的是已知某种结果对应某个参数估计值的概率(具体理解 见图2)。

Wald是对单个模型检验 检验是否为0，速度快；似然比检验 2个模型 更好，对样本数目有要求
备择模型具有更多的参数，拟合优度，即评估哪个模型更能解释观察到的数据。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/352385539

回归方程的**似然比检验（Likelihood Ratio Test, LRT）**确实是用来比较两个嵌套模型（通常是一个完整模型 vs 一个受限制模型），以判断引入的额外变量是否显著改善了模型拟合效果。

似然比检验比较的是两个模型在其各自最优参数（即最大似然估计）下的似然值。

• 受限模型（H0）：某些参数被设为特定值（通常是0），模型更简单。
• 完整模型（H1）：包含了全部的参数，模型更复杂。

检验的核心思想是：

比较这两个模型在它们各自最大似然估计时的似然值，看看引入额外参数是否显著提高了似然。

公式如下：

$\Lambda =-2\left(\ln L_0-\ln L_1\right)$

其中：

• $L_0$：受限模型的最大似然
• $L_1$：完整模型的最大似然
• $\Lambda$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，自由度等于两模型之间参数数量的差异

1. 什么是似然值（Likelihood）

• 在统计学里，似然 (Likelihood) 指的是：
  在给定参数 θ 的情况下，观测数据出现的概率。
• 数学上，若观测数据为 $y$，模型参数为 $\theta$，似然函数是：

$$L(\theta )=P(Y=y\mid \theta )$$

• 在回归分析（尤其是最大似然估计 MLE）中，我们通过 最大化似然函数 来得到参数估计。