1. 特征值与特征向量的定义
对于方阵 ，若存在非零向量 和标量 使得
则 是 特征值， 是 特征向量。
2. 将特征向量排成矩阵
假设 有 个线性无关的特征向量 ，对应的特征值分别为 （可能有重复）。
令矩阵 的列由这些特征向量构成：
\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{bmatrix}.$$ 因为特征向量线性无关，所以 $W$ 可逆（$\det(W) \neq 0$）。 --- ## **3. 矩阵形式的特征方程** 对第 $i$ 个特征向量有 $$A \mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i.$$ 把这些 $n$ 个等式合成一个矩阵等式： $$A W = A \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 \mathbf{v}_1 & \lambda_2 \mathbf{v}_2 & \cdots & \lambda_n \mathbf{v}_n \end{bmatrix}.$$ --- ## **4. 引入对角矩阵** 定义一个对角矩阵 $\Lambda$： $$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}.$$ 观察右乘 $\Lambda$ 对 $W$ 的作用： $$W \Lambda = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}.$$ 矩阵乘法规则：$W\Lambda$ 的第 $i$ 列 = $W$ 的第 $i$ 列乘以 $\Lambda$ 的第 $i$ 个对角元 $\lambda_i$，即 $\lambda_i \mathbf{v}_i$。 所以： $$W \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 \mathbf{v}_1 & \lambda_2 \mathbf{v}_2 & \cdots & \lambda_n \mathbf{v}_n \end{bmatrix}.$$ --- ## **5. 得到矩阵等式** 由上可得： $$A W = W \Lambda.$$ 因为 $W$ 可逆，两边右乘 $W^{-1}$： $$A = W \Lambda W^{-1}.$$ 这就是 **特征分解**（对角化）公式。 --- - 如果 $A$ 是实对称矩阵（或复正规矩阵，如 Hermitian 矩阵），那么 $W$ 可选为正交（酉）矩阵，此时 $W^{-1} = W^T$（或 $W^H$），即： $$A = W \Lambda W^T \quad (\text{实对称情形}).$$ --- # 🟦 第 1 部分：推导为什么需要 (v) 和 (v') 你最开始看到的推导是这样的： 1. 在**新基**中有一个向量的坐标 (v') 2. 用矩阵 (A) 变换回**旧基向量**：v = A v’
w = X v = X A v’
w’ = A^T w = A^T X A v’
w’ = (A^T X A) v’
这说明： # ⭐ 新基下的变换矩阵就是 $A^T X A$ --- # 🟩 第 2 部分：为什么最终公式里不再出现 (v, v')？ 因为推导完成后你发现：w’ = (A^T X A), v’ \quad \text{对所有 } v’
X’ = A^T X A